К одной оффлайновой дискуссии вчера: про предел (1+a/n)^n -> e^a при n->\infty. Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из C_n^k / n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты). А подход через логарифм считал странным трюком. А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила « Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй! ». А n-я степень это то же произведение. Убираем под логарифм, получаем n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty, значит, сама степень стремится к e^a. Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…
МаМатематические байки
CategoryOtherLanguageRUFirst seenJul 06, 2026QualityVerified
Subscribers692
Avg views2.3K
ERR326.9%
Price-- RUB
Price / subscriber--
Price / view--
Metrics updated: Jul 07, 2026
Recent posts
Вот тут у коллег выложены очень красивые картинки аргумента многочлена большой степени (200) со случайными (равномерно выбираемыми на [-10,10]) коэффициентами. Картинка там под спойлером не случайно — она неожиданная. Кстати, корни многочлена со случайными коэффициентами, равными +1/-1 (подкидывая монетку) — тоже расположены довольно красиво; см. тут . А возвращаясь к исходной картинке у коллег — мне ещё хочется вспомнить доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, которое я узнал из книги «Математические прогулки» Этьена Жиса. В упрощённом пересказе (чтобы не оговаривать кратные корни) — если все корни простые, то кривые Re P(z) =0 и Im P(z) = 0 это гладкие кривые. При этом рядом с бесконечностью их участки чередуются — а они должны разбиваться на пары, соединяясь в гладкие кривые. Так что кому-то уж точно придётся с кем-то пересечься, а точка пересечения это и есть корень (см. рисунки по ссылке).
Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола. Как связаны вращение Земли вокруг оси и поворот плоскости колебаний маятника Фуко? Почему на полюсе маятник Фуко делает полный оборот за сутки, а на экваторе его плоскость колебаний вращаться не будет? Какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте? Наглядный и запоминающийся ответ на эти вопросы даёт геометрический подход, представленный в фильме «Маятник Фуко» . Правило для запоминания: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. Объяснение для интересующихся: поворот маятника Фуко — это параллельный перенос (в смысле дифференциальной геометрии) вектора вдоль параллели — замкнутого пути, не являющегося кратчайшим на сфере. Этим фильмом «Математические вторники» 2025/2026 завершаются.
arxiv.org/abs/2606.10102 Giovanni Forni выложил препринт, в котором, как утверждается, доказано существование периодических бильярдных траекторий во всех многоугольниках
zykin.mccme.ru в четверг (11.06) в МИАН будет десятая конференция памяти Алексея Зыкина (13.06.1984–22.04.2017) 11:00 Сергей Давыдов. Стабильность для представлений спин-симметрической группы 12:15 Алексей Устинов. Последовательности Сомоса 15:00 Виктор Петров. Мотивы Чжоу некоторых многообразий Мукаи 16:15 Михаил Цфасман. Сильно вырожденные пересечения квадрик